You are given an integer array height of length n. There are n
vertical lines drawn such that the two endpoints of the ith line are
(i, 0) and (i, height[i]).
Find two lines that together with the x-axis form a container, such that the container contains the most water.
Return the maximum amount of water a container can store.
Notice that you may not slant the container.
Example 1:
Input: height = [1,8,6,2,5,4,8,3,7]
Output: 49
Explanation: The above vertical lines are represented by array [1,8,6,2,5,4,8,3,7]. In this case, the max area of water (blue section) the container can contain is 49.
Example 2:
Input: height = [1,1]
Output: 1
Constraints:
n == height.length- \( 2 <= n <= 10^5 \)
- \( 0 <= height[i] <= 10^4 \)
Solution
说明
本题是一道经典的面试题，最优的做法是使用「双指针」。
如果读者第一次看到这题，不一定能想出双指针的做法。
分析
我们先从题目中的示例开始，一步一步地解释双指针算法的过程。
稍后再给出算法正确性的证明。
题目中的示例为：
[1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]
^ ^
在初始时，左右指针分别指向数组的左右两端，它们可以容纳的水量为\(\min(1, 7) * 8 = 8\)。
此时我们需要移动一个指针。
移动哪一个呢？直觉告诉我们，应该移动对应数字较小的那个指针（即此时的左指针）。
这是因为，由于容纳的水量是由
\(两个指针指向的数字中较小值 * 指针之间的距离\)
决定的。
如果我们移动数字较大的那个指针，那么前者「两个指针指向的数字中较小值」不会增加，后者「指针之间的距离」会减小，那么这个乘积会减小。
因此，我们移动数字较大的那个指针是不合理的。
因此，我们移动 数字较小的那个指针。
有读者可能会产生疑问：我们可不可以同时移动两个指针？ 先别急，我们先假设 总是移动数字较小的那个指针 的思路是正确的，在走完流程之后，我们再去进行证明。
所以，我们将左指针向右移动：
[1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]
^ ^
此时可以容纳的水量为\(\min(8, 7) * 7 = 49\)。
由于右指针对应的数字较小，我们移动右指针：
[1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]
^ ^
此时可以容纳的水量为\(\min(8, 3) * 6 = 18\)。
由于右指针对应的数字较小，我们移动右指针：
[1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]
^ ^
此时可以容纳的水量为\(\min(8, 8) * 5 = 40\)。
两指针对应的数字相同，我们可以任意移动一个，例如左指针：
[1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]
^ ^
此时可以容纳的水量为\(\min(6, 8) * 4 = 24\)。
由于左指针对应的数字较小，我们移动左指针，并且可以发现，在这之后左指针对应的数字总是较小，因此我们会一直移动左指针，直到两个指针重合。
在这期间，对应的可以容纳的水量为：\(\min(2, 8) *3 = 6\)，\(\min(5, 8)* 2 = 10\)，\(\min(4, 8) * 1 = 4\)。
在我们移动指针的过程中，计算到的最多可以容纳的数量为\(49\)，即为最终的答案。
证明
为什么双指针的做法是正确的？> 双指针代表了什么？双指针代表的是 可以作为容器边界的所有位置的范围。
在一开始，双指针指向数组的左右边界，表示 数组中所有的位置都可以作为容器的边界，因为我们还没有进行过任何尝试。
在这之后，我们每次将 对应的数字较小的那个指针 往 另一个指针 的方向移动一个位置，就表示我们认为 这个指针不可能再作为容器的边界了。
为什么对应的数字较小的那个指针不可能再作为容器的边界了？在上面的分析部分，我们对这个问题有了一点初步的想法。
这里我们定量地进行证明。
考虑第一步，假设当前左指针和右指针指向的数分别为\(x\) 和\(y\)，不失一般性，我们假设\(x \leq y\)。
同时，两个指针之间的距离为\(t\)。
那么，它们组成的容器的容量为：
\(\min(x, y) *t = x * t\)
我们可以断定，如果我们保持左指针的位置不变，那么无论右指针在哪里，这个容器的容量都不会超过\(x * t\) 了。
注意这里右指针只能向左移动，因为 我们考虑的是第一步，也就是 指针还指向数组的左右边界的时候。
我们任意向左移动右指针，指向的数为\(y_1\)，两个指针之间的距离为\(t_1\)，那么显然有\(t_1 < t\)，并且\(\min(x, y_1) \leq \min(x, y)\)
如果\(y_1 \leq y\)，那么\(\min(x, y_1) \leq \min(x, y)\)
如果\(y_1 > y\)，那么\(\min(x, y_1) = x = \min(x, y)\)。
因此有：
\(\min(x, y_t) *t_1 < \min(x, y)* t\)
即无论我们怎么移动右指针，得到的容器的容量都小于移动前容器的容量。
也就是说，这个左指针对应的数不会作为容器的边界了，那么我们就可以丢弃这个位置，将左指针向右移动一个位置，此时新的左指针于原先的右指针之间的左右位置，才可能会作为容器的边界。
这样以来，我们将问题的规模减小了\(1\)，被我们丢弃的那个位置就相当于消失了。
此时的左右指针，就指向了一个新的、规模减少了的问题的数组的左右边界，因此，我们可以继续像之前 考虑第一步 那样考虑这个问题
求出当前双指针对应的容器的容量
对应数字较小的那个指针以后不可能作为容器的边界了，将其丢弃，并移动对应的指针。
最后的答案是什么？答案就是我们每次以双指针为左右边界（也就是「数组」的左右边界）计算出的容量中的最大值。
复杂度分析
时间复杂度：\(O(N)\)，双指针总计最多遍历整个数组一次。
空间复杂度：\(O(1)\)，只需要额外的常数级别的空间。
class Solution {
public:
int maxArea(vector<int>& height) {
int l = 0, r = height.size() - 1;
int ans = 0;
while (l < r) {
int area = min(height[l], height[r]) * (r - l);
ans = max(ans, area);
if (height[l] <= height[r]) {
++l;
}
else {
--r;
}
}
return ans;
}
};